المجموعات

الاهدف التفصلية :

1. المفهوم الرياضي للمجموعة
2. انواع المجموعات 
3. العمليات على المجموعات

المفهوم الرياضى للمجموعه:

المجموعه هى كل تجمع من الأشياء المعرفه والمحدده تحديداً تاماً

وتسمى الأشياء التى تتكون منها المجموعه عناصرونرمز للمجموعه بأحد الحروف الأبجديه الكبيره مثل س , ص , ع ,00000وتستخدم الحروف الصغيره للتعبير عن عناصرهاوتوجد طريقتان للتعبير عن المجموعه
الطريقه الأولى: تسمى طريقة السردمثل مجموعة حروف كلمة مصر تكتبس = {م , ص , ر}
الطريقه الثانيه: تسمى الصفه المميزهوتكتب لنفس المجموعه السابقه هكذاس = { س : س أحد حروف كلمة مصر }
أشكال فن:وهى من الطرق البسيطه للتعبير عن المجموعات ولتوضيح العلاقات والعمليات عليهافالمجموعه س = {أ , ب , ج } تمثل بشكل فن بأحدالأشكال الاتيه كما فى الشكل

*انواع المجموعات:

المجموعات المنتهية

هي التي لها عدد محدود من العناصر، فمثلاً “ثلاث قطط” و”ثلاثة آلاف رأس من الماشية” مجموعات منتهية. ولوصف المجموعة المنتهية قليلة العناصر، فإننا نكتب عناصر المجموعة كلها. فمثلاً، إذا كانت ص هي مجموعة الأعداد الطبيعية التي تزيد عن 4 وتقل عن 10، نكتب: ص = { 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9}.

المجموعات غير المنتهية

هي التي يكون عدد عناصرها غير محدود. فمجموعة الأعداد التي تستخدمها في العد مثلا تشكِّل مجموعة غير منتهية: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 وهكذا بدون توقف. ومن المستحيل كتابة عناصر المجموعة غير المنتهية كلها، ولوصف عناصر مجموعة كهذه نكتب العناصر القليلة الأولى، ثم نضع ثلاث نقاط لتوضيح أن عدد العناصر غير محدود: {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، …}

المجموعات الخالية

هي التي لاتحتوي على أي عناصر. فمثلاً إذا كانت المجموعات التالية تمثِّل قائمة التلاميذ الغائبين في مدرسة معينة خلال ثلاثة أيام، حيث تغيَّب يوم الإثنين صالح وأحمد، وفي يوم الثلاثاء خالد، وفي يوم الأربعاء لم يتغيب أحد. نلاحظ أن مجموعة الإثنين تحتوي على عنصرين، ومجموعة الثلاثاء تحتوي على عنصر واحد فقط، بينما لاتحتوي مجموعة الأربعاء على أي عنصر. ولذلك فإن مجموعة الأربعاء مجموعة خالية. ولكي نوضِّح أن مجموعة ما خالية، فإننا نترك فراغاً بين قوسيها.

مجموعة الأربعاء = { }

المجموعات وحيدة العنصر

هي التي تحوي عنصرًا واحداً فقط. فمجموعة الثلاثاء في المثال المتقدم مجموعة وحيدة العنصر؛ مجموعة الثلاثاء = {خالد}.

المجموعات المتكافئة

هي المجموعات التي لها نفس العدد من العناصر، بمعنى أن كل مجموعتين تكونان متكافئتين إذا أمكن مقابلة عناصرهما عنصراً لعنصر. فمثلاً إذا كان عدد الأدراج في أحد الفصول مساوياً لعدد الطلاب، فإن مجموعة الأدراج مكافئة لمجموعة الطلاب. وفي الشكل التوضيحي أدناه تكون مجموعة الكلاب مكافئة لمجموعة أوجار الكلاب.

ولكي تبين أن أ و ب متكافئتان فإنك تكتب: أ ¶ ب، حيث يعني الرمز ¶ أن هذا مكافئ لذلك. وهذا يشير إلى أن أفراد مجموعة ما يمكن تبادلها مع أفراد المجموعة الأخرى حسب الشكل. ولو كانت لديك خمسة كلاب وأربعة أوجار فإن المجموعتين غير متكافئتين، وعليك أن تكتب الرمز هكذا: أ ¶ ب التي تعني أن أ غير مكافئ لـ ب.

المجموعات المتساوية

هي التي لها نفس العناصر. فإذا فرضنا أن ح هي مجموعة الطلاب الذين حصلوا على العلامة الكاملة في اختبار الإملاء في مدرسة معينة وكانت:

ح = {رائد، ياسر، محمد، عمر}.

وإذا فرضنا أن ع هي مجموعة الطلاب الذين حصلوا على العلامة الكاملة في اختبار الحساب وكانت:

ع = {عمر، محمد، ياسر، رائد}. عندئذ ح تساوي ع لأن لكل منهما نفس العناصر التي للأخرى. ولتوضيح أنهما متساويتان، نكتب: ح= ع.

المجموعات المتداخلة

هي التي لها عناصر مشتركة فيما بينها. فبفرض أن الطلبة المثاليين في إحدى المدارس للعام الماضي، هم جمال، وقاسم، وإبراهيم وأن الطلبة المثاليين لهذا العام هم رائد وقاسم وعمر، فإننا نلاحظ أن قاسم ينتمي لمجموعة الطلبة المثاليين في العام الماضي، وكذلك لمجموعة الطلبة المثاليين في هذا العام، أي أن المجموعتين متداخلتان، ويمكن إيضاح ذلك على النحو التالي.

المجموعات المنفصلة

هي التي لاتحتوي على أي عناصر مشتركة فيما بينها والجدول أدناه يبين زوجاً من المجموعات المنفصلة.

المجموعات الشاملة

هي المجموعات التي تحتوي على جميع العناصر تحت الاختبار في وقت ومسألة معينين، وعادة ما يرمز إليها بالرمز س. فإذا فرضنا في مسألة ما أننا نتعامل فقط مع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 10 ، تكون المجموعة الشاملة هي: س = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10}.

وقد تكون المجموعة الشاملة في مسألة أخرى هي جميع الأعداد الزوجية، وفي حالة ثالثة جميع الطلاب الذين يدرسون العلوم الطبيعية.

المجموعات الجزئية

هي المتضمَّنَة في مجموعات أخرى. فمجموعة أفراد الشرطة الذين يعملون ليلا، على سبيل المثال، مجموعة جزئية من مجموعة جميع أفراد الشرطة. وفي الشكل أدناه تظهر مشتركة تنتمي لكلتا المجموعتين في آن واحد.

*العمليات على المجموعات:

هناك ثلاث عمليات أساسية تستخدم في حل المسائل المتعلقة بالمجموعات:

1- الاتحاد

2- التقاطع

3- المُتمِّمة.

تقابل هذه العمليات العمليات الحسابية على الأعداد كالجمع والطرح. ففي كل مرة تُجرى عملية على مجموعتين للحصول على مجموعة جديدة. وتطلق الكلمات اتحاد، تقاطع، متمِّمة على العمليات على المجموعات وكذلك على نواتج هذه العمليات.

اتحاد مجموعتين

هو المجموعة التي تتألف عناصرها من عناصر كلتا المجموعتين. ويستخدم لهذه العملية الرمز U حيث نكتب ص U ع ليعني اتحاد المجموعة ص والمجموعة ع ويُقرأ “ص اتحاد ع”.

اتحاد مجموعتين منفصلتين. لتكن

ص={1، 2، 3}،

ع ={4، 5}

عندئذ ص U ع = {1، 2، 3، 4، 5}

فاتحاد ص و ع يحتوي على جميع عناصر ص، وعناصر ع. وفي شكل فن، تُمثَّل ص U ع بالجزءين المظللين معاً. لاحظ أن ص تحتوي على ثلاثة عناصر، ع تحتوي على عنصرين، بينما تحتوي ص U ع على خمسة عناصر. وبما أن 5 = 3 + 2، فإن عدد عناصر اتحاد مجموعتين منفصلتين يساوي مجموع عناصر المجموعتين.

اتحاد مجموعتين متداخلتين. لتكن

ح = {فهد، وليد، مريم}

ق= {مريم، حاتم، سالم}

عندئذ تكون ح U ق= { فهد، وليد، مريم، حاتم، سالم}، ويمثل الجزء المظلل في الشكل ح U ق. نلاحظ أن عدد عناصر ح U ق هو خمسة بينما مجموع عدد عناصر ح وعدد عناصر ق هو 3+3=6، أي أن عدد عناصر اتحاد مجموعتين متداخلتين هو دائماً أقل من مجموع عددي عناصرهما.

لتكن هـ= {3 ، 6 ، 9 ، 12}

ف = { 6 ، 12}

عندئذ

هـ U ف = { 3 ، 6 ، 9 ، 12}

وهذا يتضح من المنطقة المظللة في شكل فن والتي تمثل الاتحاد هـ U ف. لذلك فإن اتحاد مجموعة مع مجموعة جزئية منها يساوي دائماً المجموعة نفسها.

تقاطع مجموعتين

هو المجموعة المؤلفة من العناصر المشتركة بين المجموعتين. فمثلاً، إذا كانت ق = {1، 2، 3} و ك = {2، 3، 4}، فإن تقاطع ق و ك هو مجموعة العناصر الموجودة في كل من ق، ك أي {2 ، 3}.

نستعمل الرمز n لعملية التقاطع. فتقاطع ق، ك هو ق n ك ويُقرأ “ق تقاطع ك”.

تقاطع المجموعات المنفصلة هو مجموعة خالية:

فإذا كانت ص={1 ، 2 ، 3}

ع= {4 ، 5}

فإن ص n ع= {}

كما في الشكل

أي أن تقاطع ص ، ع مجموعة خالية لعدم وجود عناصر مشتركة بينهما.

تقاطع المجموعات المتداخلة:

لتكن ب= {محمد، فاطمة، صالح}

ح ={عمر، على، فاطمة}

عندئذ ب n ح = { فاطمة}

وبما أن فاطمة هي العنصر المشترك الوحيد بين المجموعتين ب و ح، فإن تقاطع ب و ح هو مجموعة وحيدة العنصر هي {فاطمة} ويمثلها الجزء المظلل من شكل فن أعلاه.

تقاطع مجموعة ومجموعة جزئية منها:

لتكن ف= {12، 9، 6 ، 3}

ق= {6 ، 12}

عندئذ ف n ق= {6 ، 12}= ق لأن العناصر المشتركة بين ف و ق هي عناصر ق فقط. والجزء المظلل من شكل فن يمثل ف n ق، وهذا الجزء مطابق للدائرة التي تمثل المجموعة ق، لذلك فالتقاطع يساوي ق.

مُتمِّمة مجموعة

هي مجموعة العناصر في س التي لاتوجد في المجموعة ص.

فإذا كانت ص أي مجموعة جزئية من س فإن متممة ص هي عناصر س التي لاتوجد في ص. ويمثل الجزء المظلل في شكل فن متممة ص. ونرمز عادة لمتممة ص بالرمز ص. فمثلاً لنفرض:

س = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5}

ص = { 2، 3، 4}

عندئذ ص = {1 ، 5}.

لأن 1 ، 5 هي فقط العناصر التي في س وليست في ص كما هو موضح في شكل فن.

*شرح تفصيلي عن مفهوم المجموعات
عن طريق (قيديوا)

*شرح تفصيلي عن العمليات على المجموعات:

......................................................................................ز