1. التجربة العشوائية : هي كل عملية تُجرى وتُعرف مسبقاً جميع نتائجها الممكنة ... ولكن لا تعرف بالتحديد أي منها سيقع ... وهي التي تجرى بلا تحيز .
مثل : إلقاء قطع نقد متماثلة .
مثل : سحب بطاقة من بين عدد من البطاقات المتماثلة والتي تحمل كل منها رقم معين أو رمز معين .
مثل : إلقاء حجر نرد منتظم متماثل .
مثل :التصويب على هدف .
مثل : حالة الولادة .
2. الفضاء العيني (الفراغ العيني) ويُرمز له بالرمز W
هو جميع النتائج الممكنة للتجربة العشوائية .
مثل : في تجربة إلقاء حجر نرد منتظم مرة واحدة فقط يكون
W={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
عدد عناصر الفضاء
ع ( W ) = 6
مثل : في تجربة إلقاء قطعة نقد منتظمة عادلة مرة واحدة . يكون الفضاء العيني W = { وجه , خلف } = { و , خ }
W = { صورة , كتابة } = { ص , ك }
حيث ع ( W) = 2
مثل : في تجربة رمي قطعة نقد منتظمتين متمايزتين .
W = { وو , وخ , خ و , خ خ }
ع ( W ) = 4
ما هو الكسر العشري ، وما علاقته بالكسر العادي ؟
تمهيد :
نقول أن الكسر العشري حالة من حالات الكسر العادي مقامه العشرة أو مضاعفاتها (10 ، 100 ، ... )
وتُستعمل في الكسر العشري الفاصلة العشرية( , ) بدل خط الكسر ، وسميت كذلك لأنها تفصل بين الأعداد الصحيحة والأجزاء العشرية .
2) عرفت سابقاً أن العدد 76.583 مكون من
7 عشرات صحيحة أي 70
لاحظ هنا أن الوحدة المميزة مقسومة في الكسر العشري إلى 10 أقسام متساوية أو 100 من الأقسام المتساوية أو 1000 من الأقسام المتساوية ... الخ .
ويبين الكسر العشري عدد الأقسام الموجودة في كل فئة .
تحويل الكسر العادي إلى كسرٍ عشري
الأهداف :ـ أن يتقن الدارس عملية تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية .
الخبرات السابقة : ـ الكسور والأعداد الكسرية ، الكسور العشرية ، عمليات القسمة الطويلة ، مفهوم الضرب في الواحد الصحيح .
الإجراءات والأنشطة :
أ. تعلمت سابقاً أن الكسور العادية التي يكون مقامها 10 ، 100 ، 1000 … الخ ، يمكن تحويلها بسهولة إلى كسر عشري ، ذلك لأن هذه الكسور هي أعشار أو أجزاء من مئة أو أجزاء من ألف … ، وتكون أجزاؤها العادية كأجزاء الكسور العشرية .
ب. الكسور العادية التي مقاماتها ليست العشرة أو مضاعفاتها (قواها) .
1) يُمكن تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية وذلك بضرب كل من البسط والمقام في العدد الذي يجعل مقام الكسر العادي العشرة أو مضاعفاتها 10 ، 100 ، 1000 ... وهكذا .
إلى كسر عشري .
مثال (1) : حوِّل الكسر
الحل :
إلى كسر عشري .
مثال (2) : حوِّل الكسر
الحل :
الكسور المنتهية والكسور الدورية
1) الكسور المنتهية والكسور الدورية
الهدف : أن يتعرف الدارس إلى مفهوم الكسر المنتهي والكسر الدوري (وأن يميز بينهما) .
الخبرات السابقة : تحويل الكسور العادية والأعداد الكسرية إلى كسور عشرية ، عملية القسمة الطويلة .
الإجراءات والأنشطة :
الكسور المنتهية
تمهيد : ادرس الأمثلة التالية ولاحظ أن عمليات القسمة التي نجريها ، لتحويل هذه الكسور العادية إلى كسور عشرية ، قد انتهت (باقي القسمة يساوي صفر) .
إلى كسور عشرية بإجراء عمليات القسمة :
،
أ) حوِّل الكسر
الحل :
لاحظ هنا أن عمليات القسمة لتحويل الكسور في الأمثلة السابقة انتهت (باقي القسمة يساوي صفراً) .
نُسمي الكسور العشرية الناتجة كسوراً منتهية
عند تحويل الكسور التالية إلى كسور عشرية بإجراء عمليات القسمة نجد أن باقي القسمة في كل حالة يساوي صفراً ، ونسمي الكسور العشرية الناتجة كسوراً منتهية .
الكسور الدورية
الرقم الدوري والرقم غير الدوري في الكسور العشرية الدورية
الهدف : أن يتعرف الدارس إلى الأرقام الدورية وكيفية كتابتها وقراءتها .
الخبرات السابقة : الكسور المنتهية والكسور الدورية .
الإجراءات والأنشطة :
حوِّل الكسور التالية إلى كسور عشرية وادرس جيداً الرقم أو الأرقام الناتجة عن إجراء عمليات القسمة في كل واحد منها .
نُسمي كل كسر من هذه الكسور العشرية "كسراً عشرياً دورياً" .
إلى كسر عشري عن طريق قسمة البسط (1) على المقام (3) قسمة فعلية . وإذا
يتم تحويل الكسر
قمت بإجراء عملية القسمة هذه تُلاحظ أن العدد نفسه يتكرر في ناتج القسمة باستمرار ، ولا يمكن أن نصل إلى وضع يكون الباقي فيه صفراً .
أي يُكتفى
إن الرقم الدائر في هذا الكسر العشري 0.33333 هو (3) ويُكتب الكسر العشري على صورة
بكتابة الرقم الدوري بعد الفاصلة العشرية ويوضع فوقه خط ويُقرأ : صفر فاصلة ثلاثة بالعشرة والرقم 3 دوري .
أي يُكتفى
إن الأرقام الدورية في هذا الكسر العشري هي 18 على الترتيب ويكتب الكسر على صورة
بكتابة رقمي الدورة بعد الفاصلة العشرية ويُقرأ : 18 بالمئة ، والعدد 18 دوري .
أي يُكتفى
إن الأرقام الدورية في هذا الكسر هي 315 على الترتيب ويُكتب الكسر على صورة
بكتابة أرقام الدورة بعد الفاصلة العشرية ويُقرأ 315 بالألف والعدد 315 دوري .
تحويل الكسر العشري إلى كسرٍ عادي
الأهداف : أن يتقن الدارس عمليات تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية أو أعدادٍ كسرية .
الخبرات السابقة :الكسور والأعداد الكسرية ، الكسور العشرية ، عمليات القسمة الطويلة .
الإجراءات والأنشطة :
من المتر أو 0.25 من المتر .
أ) تعلمت سابقاً أن 25 سم =
من المتر أو 0.6 من المتر .
وأن 6دسم =
من الكيلوغرام أو 0.75 من الكيلوغرام .
وكذلك 750 غم =
لاحظ هنا أنَّ
،
،
يُمكن تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي ، بإعادة الكسر العشري إلى الكسر العادي المكافئ الذي يكون مقامه عادة العشرة أو مضاعفاتها 10 ، 100 ، 1000 ...
تدريب : حوِّل الكسور العشرية التالية إلى كسور عادية بأبسط صورة :
7.0 = ، 0.35 = ، 0.025 =
ضرب الكسور العشرية
الإجراءات والأنشطة :
تمهيد : أ. تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية ثم إجراء عمليات الضرب .
1) أوجد ناتج : 2.8 × 3.15
الحل :
لاحظ أن الناتج احتوى على عدد من المنازل العشرية مساوياً لمجموع عدد المنازل العشرية في المضروب والمضروب فيه .
2) أوجد ناتج 6 × 0.72
الحل :
لاحظ أن الناتج احتوى على عدد من المنازل العشرية مساوياً لمجموع عدد المنازل العشرية في المضروب والمضروب فيه .
3) أوجد ناتج 3.05 × 0.05
الحل :
لاحظ أن الناتج احتوى على عدد من المنازل العشرية مساوياً لمجموع عدد المنازل العشرية في المضروب والمضروب فيه .
قسمة الكسور العشرية على 10 ، 100 ، 1000 ... الخ .
تمهيد :
يُكتب على الصورة 45.3
1) أنت تعرف أن الكسر
وتعرف أن
وبالتالي 45.3 ÷ 10 = 4.53لاحظ هنا أننا حركنا الفاصلة عن موضعها عند القسمة إلى اليسار منزلة عشرية واحدة .
وكذلك
وهكذا
65.2 ÷ 10 = 6.52
65.2 ÷ 100 = 0.652
65.2 ÷ 1000 = ؟؟؟ 0.0652
65.2 ÷ 10000 = ؟؟ 0.00652
عند قسمة كسر عشري على العشرة (10) أو على مضاعفاتها (قواها) نحرك الفاصلة إلى اليسار عدداً يساوي عدد الأصفار في مضاعفات (قواها) العشرة .
وإذا انتهت المنازل دون استيفاء عدد المنازل المطلوب ، نكملها بوضع صفر أو أكثر على يسار العدد حتى يتم العدد المعين للمنازل .
بعض المتطلبات المسبقة :
حتى تفهم المعادلة التربيعية وطرق حلها عليك أن تكون دارساً وفاهماً للموضوعات التالية :-
فيما يلي سنعالج الحدود والمقادير الجبرية بشئ من التفصيل .
تمهيد :
نستخدم في علم الجبر الرموز والأعداد في التعبير عن الكميات ، فمثلاً نجد 2س ، ص +5 ، س+ 6،
د2 ﻫ 2 + 2 د + 5ﻫ - 7 ....... إلخ وكلها تعبر عن مقادير جبرية. أطلق علماء الرياضيات على هذه الكميات تسميات خاصة اعتماداً على ما نجد فيها من متغيرات ومن قوى لهذه المتغيرات ونتعرف فيما يلي على بعض هذه التسميات والمصطلحات.
1. الحد الجبري monomial or term :
وهو مقدار جبري يتكون من متغير واحد، أو من عدة متغيرات مضروبة في بعضها، أما معامله فيكون عدداً حقيقياً وأما قوته فتكون عدداً صحيحاً موجباً، وهذه أمثلة :
1) 2س3: الرمز المستخدم س ، المعامل (2) ، القوة (3) .
2) ب : الرمز المستخدم ب ، المعامل 1 ، والقوة (1).
, القوة (5) .
ص5: والرمز ص، المعامل
3)
4) 5س3 ص2: المعامل 5، قوة س (3) وقوة ص (2) وكلها مضروبة في بعضها.
5) 3ع2 ل6 ك : المعامل 3، والمتغيرات ثلاثة بقوى مختلفة ولكنها كلها مضروبة في بعضها وهو الشرط الأساس في اعتبارها حداً جبرياً واحداً. 2. كثير الحدود polynomial :
هو مقدار جبري يتكون من حدين أو أكثر يفصل بينهما إشارة ( + ) أو ( ) أما معاملاتها فتكون أعداد حقيقية وقواها صحيحة موجبة.
أمثلة :
1) أ 3 كثير حدود يتكون من حدين . لاحظ أن العدد ( الذي نسميه عادة الحد المطلق ) يعتبر حداً من حدود المقدار مثله مثل أي متغير .
2) ص2 3ص + 2 كثير حدود يتكون من ثلاثة حدود . 3) س3 + 2س2 3س + 1 كثير حدود .
4) س2 2س ص + ص2 كثير حدود يتكون من ثلاثة حود جبرية ولكن عدد المتغيؤات اثنان هما س، ص.
مقدار جبري يتكون من خمسة حدود أما عدد المتغيرات فهو ستة.
3. ثلاثي الحدود التربيعي أو العبارة التربيعية : هذا مصطلح يخص كثير حدود يتكون من متغير واحدوثلاثة حدود وصيغته العامة هي أ س2 + ب س + جـ حيث أ ، ب ، جـ ، أعداد حقيقية وحيث أ≠صفرلأنه في هذه الحالة لايعود المقدار تربيعياً .
ملاحظة هامة: قد يتكون ثلاثي الحدود التربيعي من متغيرين وفي هذه الحالة يأخذ الصيغة العامة التالية أ س2 + ب س ص + جـ ص2حيث أ ، ب ، جـ أعداد حقيقية وليس أي واحد منها = صفراً.
العبارة التربيعية: تأمل الأمثلة الثلاثة التالية، إن كل واحد منها هو ثلاثي حدود بمتغير واحد.
1) 5 ل22 ل +3 .
2) 3س2+ 8س + 5.
3) 2ص2 4ص + 15 .
وعادة ما نعطيها الشكل العام أ س2 + ب س + جـ .
يمكن أن تكون ب = صفر ( تذكر أننا نرمز لمعامل المتغير س بالرمز ب ) وفي هذه الحالة يصبح ثلاثي الحدود على شكل " أس2 + جـ " لأن الحد الأوسط ب س = 0
ويمكن أن نطلق على المقدار في هذه الحالة اسم ثنائي حدود تربيعي أو ثلاثي حدود تربيعي .
أماإذا كانت جـ = صفر(تذكر أننا نرمز للحد المطلق بالرمز جـ) فإن ثلاثي الحدود يصبح
أ س2 + ب س + صفر. وهو أيضاً ثنائي حدود تربيعيأ س2 + ب س أو ثلاثي حدود تربيعي أس2 + ب س + صفر .
أما إذا كانت ب = ﺠ = الصفر فإن المقدارأ س2 + ب س + جـ = أ س2يصبح مكوناُ من حد واحدmonomial أي يصبح حداً جبرياً وليس ثلاثي حدود .
الخلاصة: العبارة التربيعية أو ما نسميه أيضاً ثلاثي الحدود التربيعي :
هو أي مقدار من الشكل العام أس2 + ب س + جـ حيث لايمكن أن تكون أ = .
ق ( س ) = أ س2 + ب س + جـ هو اقتران تربيعي فإذا كان ق (س) =0 فإن الاقتران يؤول إلى
0 = أ س2 + ب س + ﺠ معادلة تربيعية .
لاحظ أن 7 = أ س2 + ب س + د هو معادلة تربيعية
لأن أ س2 + ب س + د 7 = 0 حيث يمكن أن نقول في هذه الحالة أن جـ = د 7.
حل المعادلة التربيعية:
لقد تعلمنا سابقاً، في المعادلات التي يكون المجهول فيها من الدرجة الأولى أن حل المعادلة تعني إيجاد قيمة المجهول وفي حالة المعادلة التربيعية لا يختلف الأمر ، فحلها يعني إيجاد قيمتي (سنجد أن للمجهول قيمتين لأن المعادلة تربيعية) المجهول الوارد فيها .
حل المعادلة التربيعية:
لقد تعلمنا سابقاً، في المعادلات التي يكون المجهول فيها من الدرجة الأولى أن حل المعادلة تعني إيجاد قيمة المجهول وفي حالة المعادلة التربيعية لا يختلف الأمر ، فحلها يعني إيجاد قيمتي (سنجد أن للمجهول قيمتين لأن المعادلة تربيعية) المجهول الوارد فيها .
طرق حل المعادلة التربيعية:
يمكن حل المعادلة التربيعية بعدة طرق، منها إعادتها إلى أصلها وهو الاقتران التربيعي، ومنها طريقة التحليل إلى العوامل ، وطريقة القانون العام كل هذه الطرق تختلف عن بعضها قليلاً وفي أمور تفصيلية أما أساسها فهو واحد.
سنطبق هذه الطرق المختلفة على مثال واحد لنقارن بينها ولنتمكن من ربطها ببعضها .
حل المعادلة : س2 6س + 5 = 0
مثال :
1) الطريقة الأولى : عمل جدول بقيم س ، ق ( س ) المقابلة لها .
الحل : المعادلة المطلوب حلها هي س2 6س + 5 = 0
اختر قيماً لـِ س في الفترة (5، +5 )، ثم أوجد قيم ق (س) المقابلة. يكون حل المعادلة هو قيم س التي يكون عندها ق (س) = الصفر .
جدول بقيم س ، ق(س) المقابلة لها
5
4
3
2
1
صفر
1
2
3
4
5
س
صفر
3
4
3
صفر
5
12
21
32
45
60
ق(س)
وكماهو واضح من الجدول يكون حل المعادلة هو : س = 1 و س = 5 .
في هذه الطريقة نضع جدولاً بقيم نختارها للمتغير في الاقتران ونجد قيم ق (س) المقابلة لها ، كما هو الحال مع ما قمنا به بالطريقة الأولى .
6
5
4
3
2
1
صفر
س
5
صفر
3
4
3
صفر
5
ق (س)
نرسم منحنى الاقتران ونجد نقاط تقاطعه مع محور السينات (ص = صفر) فتكون قيم س عند هذه النقط هي حل المعادلة .
ارسم المنحنى بدقة ( أو باستخدام الحاسوب ) تجد أنه يتقاطع مع محور السينات عند النقطتين س = 1 ، س = 5 .
أي أن حل المعادلة هو س = 1 و س = 5 .
- ملاحظات على الطريقتين السابقتين :
1. إذا كانت قيم المجهول في المعادلة التربيعية قيماً كسرية أو أعداداً غير نسبية فلن تظهر في الجدول ولكنها ستظهر بشكل تقريبي على منحنى القطع المكافئ، لذلك عند الرسم يجب مراعاة الدقة كما يفضل استخدام الحاسوب في رسم المنحنى .
أمثلة :
3) س2 – 8.2 س +16 = صفر س ¬ 3.2 ، 5 .
2. إذا كانت قيم المجهول كبيرة مثلاً في معادلات مثل :
س2 23 س 570 = صفر حيث س = 38 و 15 فيجب مراعاة الأمر عند الرسم واستخدام مقياس مناسب حيث 1سم على ورقة المربعات يمكن أن يمثل 5 أو عشر وحدات .....إلخ.
إن عمل جدول بقيم س ، ق ( س ) في مثل هذه الحالات يتطلب بعض الوقت .
يفضل استخدام الطريقتين السابقتين حينما تكون قيم المجاهيل صغيرة مثلاً 10 ³ س ³ +10 .
3. نعود ونؤكد عند استخدام هاتين الطريقتين ( وهما في الواقع طريقة واحدة حيث أن ارتباط الواحدة بالأخرى يكون عضوياً ) على ضرورة الرسم بمنتهى الدقة والأفضل أن يكون رسم المنحنى باستخدام الحاسوب إذا كان الدارس قادراً على ذلك .
3) الطريقة الثالثة: طريقة التحليل إلى العوامل الأولية هذه طريقة سهلة تعتمد على ما تعلمت سابقاً تحت عنوان " تحليل العبارة التربيعية ".
حل المعادلة س2 6 س +5 = صفر بالتحليل إلى العوامل .
الحل:
الطرف الأيمن في المعادلة س2 6 س +5 = صفر هو مقدار ثلاثي حدود تربيعي ( أي عبارة تربيعية ) يمكن تحليله بسهولة كما تعلمنا حيث نبحث عن عددين حاصل ضربهما + 5 ومجموعهما 6 ، نجد أن هذين العددين هما 1 ، 5 ، إذن :
س2 6 س +5 = صفر ( س 5 )( س 1 ) = صفر .
حصلنا على مقدارين هما ( س 5 ) و ( س 1 ) حاصل ضربهما = صفر وهذا لا يمكن إلا إذا كان أحد المقدارين أو كلاهما = الصفر.
إذا فرضنا أن س 5 = صفر تكون س = 5
وإذا فرضنا أن س 1 = صفر تكونس = 1
هذه الطريقة تصلح ما دام الدارس قادراً على تحليل العبارة التربيعية بسهولة ودون عناء مثلاً:
س2 7 س 18 = صفر .
حيث تحليل س2 7 س 18 هو (س 9)(س + 2)
إذن (س 9)(س + 2) = صفر .
إذن س = 9
ومنه س 9 = صفر
إذن س = 2
ومنه س + 2 = صفر
أي أن س = 9 ، 2.
أما إذا كان الأمر يتعلق بمعادلات من النمط :
أ) 14 س2 + س 30 = صفر قابلة للتحليل في قوسين .
ب) س2 + 4 س 117 = صفر قابلة للتحليل في قوسين.
ج) س2 7 س + 11 = صفر غير قابلة للتحليل .
في مثل هذه الحالات علينا أن نبحث عن طريقة أخرى غير طريقة التحليل إلى العوامل ، وغير الطريقتين الأولى والثانية أيضاً.
4) الطريقة الرابعة : حل المعادلة التربيعية باستخدام القانون .
تمهيد:
قبل أن نعطيك القانون جاهزاً يحق لك أن تتساءل كيف توصلنا اليه ، وكيف يمكنك أن تتوصل إليه بنفسك؟
هذا ما سنحاول الإجابة عليه تالياً من خلال هذه المناقشة مع الدارس .
ـ ماهي الصيغة العامة للمعادلة التربيعية ؟ الصيغة العامة هي أ س2 + ب س + ﺠ = صفر.
الأهداف : عزيزي الدارس يتوقع منك بعد دراسة هذا الدرس أن تكون قادراً على التعرف على مميز المعادلة التربيعية واستخدام المميز في معرفة نوع المعادلة إن كانت تحلل أو لا.
تمهيد : هل يمكن إيجاد جذور لجميع المعادلات التربيعية ؟
ـ ما جذور المعادلة س2 + س + 12 = صفر ؟
ـ ما جذور المعادلة س2 + 1 = صفر ؟
لو بحثت في إيجاد حل للمعادلتين السابقتين أي إيجاد جذور كل منهما فلن تجد لهما حلاً .
أي ليست كل المعادلات التربيعية يمكن حلها .
والسؤال الآن : كيف يمكن أن نميز بين المعادلات التربيعية التي يمكن حلها والتي لا حل لها ؟
الجواب : هو استخدام المميز( ب2 4 أ جـ) حيث ب هو معامل س ، أ هو معامل س2 ، جـ الحد المطلق .
إن مميز المعادلة التربيعية ( ب2 4أ جـ ) هو الذي يحدد إذا كان للمعادلة جذور ( لها حل ) أو لا جذور لها ( ليس لها حل ) حيث إذا كان المميز أكبر من الصفر ( موجب ) أو يساوي صفراً فإن المعادلة لها حل .أما إذا كان أقل من الصفر فإن المعادلة ليس لها حل .
( س 
